TRES PUNTOS
BIENVENIDOS AL MARAVILLOSO MUNDO DEL BALONCESTO.
07 Feb 2013
El tiro = Física
Hola blogeros como sabeis soy entrenador de baloncesto, pero también soy matemático y físico. Hoy vamos a ver la relación que existe entre la física y el baloncesto a través del tiro a canasta.
Trataremos exclusivamente de los tiros frontales a canasta, los más fáciles de describir desde el punto de vista físico, ya que su base esencial son las ecuaciones del tiro parabólico, despreciándose los efectos del rozamiento con el aire, así como los efectos de la rotación del balón.
En la figura, se muestra la mitad del campo donde se desarrolla el juego del baloncesto y las medidas reglamentarias.
Las medidas que interesan para el estudio de los tiros frontales a canasta son las siguientes:
El aro está a una altura de
El diámetro del aro es de
El diámetro del balón es de
Ecuaciones del tiro parabólico
Establecemos el origen de coordenadas en la posición del lanzamiento del balón, tal como se muestra en la figura. El centro del aro está a una altura h y a una distancia L de la posición inicial del balón.
Consideramos el balón como una partícula que se lanza desde el origen con una velocidad inicial v0, haciendo un ángulo θ0, con la horizontal.
Las ecuaciones del movimiento, resultado de la composición de un movimiento uniforme a lo largo del eje X, y de un movimiento uniformemente acelerado a lo largo del eje Y, son las siguientes:
Eliminamos el tiempo t en las ecuaciones paramétricas de la trayectoria
Velocidad inicial y ángulo de tiro
Las coordenadas del punto de impacto son las del centro del aro: x=L, y=h.
- Conocido el ángulo de tiro θ0, calculamos la velocidad inicial
- Conocida la velocidad inicial v0, calculamos los dos ángulos de tiro, resolviendo la ecuación de segundo grado en tanθ0. Para ello, utilizamos la relación 1+tan2θ0=1/cos2θ0
o bien,
Ángulo que hace el vector velocidad
|
|
El ángulo θ que hace el vector velocidad v de la partícula con la horizontal vale
|
como
El ángulo θ que hace el vector velocidad v de la partícula con el eje X lo expresamos en términos de la posición x e y de la partícula, en vez del tiempo t.
En la figura, se muestra la representación gráfica de v0 en función del ángulo de tiro θ0. la función tiene dos asíntotas verticales, cuando el valor de la fracción se hace infinito, o el denominador se hace cero: tanθ0=h/L
Como v20 tiene que ser positivo, el ángulo de tiro θ0 no puede tener cualquier valor sino que tiene que cumplir
Para que el balón entre por el aro, éste debe de estar en la parte descendente de la trayectoria del balón, tal como se aprecia en la figura
El ángulo de entrada θe que forma el vector velocidad v con la horizontal en el momento en el que el balón pasa por el centro del aro x=L, y=h es
Como θe es un ángulo negativo (por debajo de la horizontal) su tangente es negativa, lo que implica que
El ángulo de tiro θ0 tiene que cumplir Consideramos ahora las dimensiones del balón y del aro. En la figura, se muestra la situación en la que el balón entra justamente por el aro AB. En el triángulo ABC, el ángulo del vértice B es igual al ángulo de entrada θe mínimo (en valor absoluto) sen|θe|=2R/Da
donde R es el radio del balón y Da es el diámetro del aro Como 2R=25 cm y Da=45 cm. El ángulo θe que forma el vector velocidad v con la horizontal debe se mayor (en valor absoluto) que 33.7º para que el balón entre por el aro. Esto limita aún más el intervalo de ángulos de tiro θ0. La relación entre ambos ángulos es θ0L es el ángulo de tiro mínimo que hace que el balón entre por el aro, sin tocarlo. El jugador debe de lanzar el balón con un ángulo θ0 que sea mayor que el valor mínimo θ0L para conseguir encestarlo
De nuevo, nos fijamos en la representación gráfica de la velocidad inicial v0 en función del ángulo de tiro θ0. Observamos que la curva tiene un mínimo v0m para cierto valor del ángulo de tiro θ0m.
Calculamos el ángulo θ0m para el cual la velocidad inicial v0 es mínima.
Despejamos el ángulo θ0 -2sen2θ0+2(h/L)senθ0·cos θ0+1=0
Expresamos el ángulo θ0m de forma alternativa utilizando las siguientes relaciones
En esta última expresión, conocido tanα, resolvemos la ecuación de segundo grado en tan(α/2), tomando la raíz positiva.
Conocido tan(α/2), calculamos en la primera expresión tan(45º+α/2). Después de hacer algunas simplificaciones, llegamos a
Conocido el valor θ0m calculamos el valor mínimo de la velocidad inicial v0m. Para ello empleamos la relación 1+tan2θ=1/cos2θ
Ray Allen
Primero, calculamos el ángulo de tiro mínimo Esta velocidad es superior a la mínima, que se obtiene para el ángulo de tiro y la velocidad mínima vale La velocidad v0 tiene que ser mayor que el valor mínimo v0m=6.39 m/s Por ejemplo, si v0=8.0 m/s, calcular θ0. Las raíces de la ecuación de segundo grado en tanθ0 son θ1=74.8º, θ2=33.6º Solamente la trayectoria del primero será descendente cuando pase por el centro del aro, mientras que la segunda es ascendente y entra por debajo del aro.
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cosθ0=0
La velocidad inicial mínima
Para introducir el balón por el aro, la velocidad inicial v0 tiene que ser mayor que la mínima v0m, cualquiera que sea el ángulo de tiro.
Ejemplo:
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Hola, soy Paco entrenador de baloncesto.
En este blog hablaremos de baloncesto y habrá secciones de ACB, NBA, Euroliga, Canteras, Pizarra ( Ataques, Defensas, Saques de banda y fondo ...., Clásicos del Baloncesto, Entrenadores, Selección ....
Espero que disfrutemos juntos del maravilloso mundo del baloncesto.
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Anonimo dijo
Muy bueno el post. Para mí la física cuando estudiaba no era de aplicación en cosas que a mí me gustaran, pero estaba equivocado; ¡De verdad que me ha sorprendido! Gracias por compartir
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